用Whisper模型，把2021年在公司做的一次分享【数学之殇】转成文字，配上PPT截图，整理成稿。

一、 为什么我们要学数学？

今天是关于数学的分享，主题叫数学之殇。

看到这个名字，大家可能会觉得有点像标题党。我们先来看一下“殇”这个字的三个本意：

未成年而死；

战死者；

非正常死亡。

如果我们把“死”这个概念无缝迁移并替换为“放弃数学”，这三句话就可以完美对应我们绝大多数人的数学之路：

未成年而死：数学还没入门就放弃了；

战死者：在刷题、考试的过程中因为太难而不得不放弃；

非正常死亡：反正我就是纯粹不喜欢，所以放弃了。

数学确实太虚无缥缈了。不瞒大家说，我高中的时候数学最惨的一次只考了8分（满分150分的那种）。但今天，就由我这个曾经考过8分的同学，来和大家聊聊：中学毕业后数学就还给老师了，日常工作生活也用不到，我们到底为什么要学数学？

首先，不要把学数学局限为“会算账”。如果只是为了算账，学会加减乘除就够了。在大学之前，数学的作用其实是比较内敛和间接的，它主要锻炼我们的两个基本能力：理解能力与逻辑能力。

1. 理解能力的锻炼

数学的理解能力与语文不同。语文偏向感性、发散和跳跃；而数学的阅读理解是严丝合缝的，它训练的是高超的抽象能力以及还原问题本质的能力。

一个最简单的例子：等边三角形。当我们看到这五个字时，里面其实隐藏了大量的理性信息：三条边相等、每个角60度、顶点到任一边的距离都相等。这种对隐藏信息的挖掘贯穿了我们学习数学的始终。

在日常工作中也是如此。面对同一份需求文档，有些人就是能比别人更快、更准地看懂其背后的核心诉求。这种看懂需求文档的思维能力，跟理解数学题的能力是完全互通的。

为了让大家更轻松地理解这种“挖掘隐藏信息”的观察方式，我们来看一个侦探游戏的图片。

同事：如果是一个侦探，这个人可能是一个有追求、有规矩的人，因为屋里还算整洁:)

其实，如果我们站在侦探的角度去挖掘隐藏信息，可以得出不一样的结论：受害者在家里遇害，一贯整洁的屋子并没有挣扎和争斗的痕迹，隐藏信息就是——他大概率是被熟人偷袭的。再仔细看，死者的伤口在右后脑勺，这隐藏了什么信息？如果一个人背对着你，你举起右手顺手一拍，最容易拍到的就是他的右后脑勺。所以，凶手很可能是一个右撇子。

这种观察理解、挖掘隐藏信息的方式，跟我们以前做几何题找辅助线是一样的，其实跟我们在代码里找Bug也非常相似。

2. 逻辑能力的锻炼

什么是逻辑？最简单的描述就是：推论和证明的思想过程。

我们先花两分钟时间，无脑跟着语音连贯地听一下这道中学数学证明题的解题过程：

这道题具体说什么不重要，请大家注意看它的文字结构。它是从已知的条件出发，一步步推理得出部分信息，再综合已有信息，最终得出合理的结论。这就是一个典型的、严密的正向逻辑推理过程。

除了正向推理，数学还训练我们的逆向逻辑，比如著名的“证明√2是无理数”。这里有个著名的数学史惨案。古希腊的毕达哥拉斯学派是一个像宗教一样的组织，他们的核心教条是“宇宙间所有的数都是有理数”（即都可以表示为两个整数的比值）。结果他的学生西帕索斯发现了无理数√2的存在。毕达哥拉斯为了隐藏这个事实，决定把这个学生丢进大海淹死了。

西帕索斯是怎么证明的呢？他运用的就是反证法。反证法的原理很简单：抓它逆向命题的Bug。假设√2是有理数，然后推导出一个荒谬的Bug，从而反过来证明原命题（√2是无理数）是对的。

类似这样的逻辑结构，我们在平时定位Bug时经常用到。 比如前两天我刚好用到了这个反正逻辑，临时加到了这里：

我们在讨论问题时，有些Bug无非是前端问题、后端问题、中间网络或网关问题。如果我们能得出在某种特定条件下“后端绝对没问题”，那就可以反推出前端或者中间网络必然存在某种问题。通过这种逻辑推理，你甚至不需要立马看代码，就能先大概定位出问题范围。这就是云定位Bug，它正是以前学数学时不知不觉植入你脑海的逻辑能力。

总结一下，逻辑能力强的人在职场上有三个显著特征：

快速理解别人讲的内容：这对应了数学里“快速读懂题目”的能力。

表达极具条理性：喜欢使用首先、然后、第一、第二、第三等逻辑词，习惯先抛出结论再列出理由，或者先抛出问题再列出原因和解决方案。这对应了数学里“写出严密证明过程”的能力。

表达有让人信服的力量：能招架住别人的疑问。逻辑强大的人在得出结论前，脑海里已经自我质疑并推演了无数遍，补全了所有漏洞。这对应了数学里“得出正确答案”的能力。

二、 高等数学有什么用？

如果说初等数学是以训练思维为主，那么高等数学就是以偏向应用为主了。作为计算机系毕业的人，我们大学都要学高数（微积分）、解析几何、线性代数、概率论、计算机图形学等。

我们以微积分来举个例子。微积分通常被看作初等数学与高等数学的分界线。因为从微积分开始，我们看待这个世界的眼光，从静态变成了动态。

在微积分之前，我们讨论的速度都是“平均速度”；而微积分处理的，则是极其精细的瞬时速度和动态联系。用高大上的说法来表达：微积分的核心思想就是用动态的眼光把握局部的微弱调整如何影响整体。

冯·诺依曼曾说：“微积分是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样估计也是不会过分的。”

1. 微分与积分的本质

我们可以把微积分拆开来看：

微分（核心是导数）：已知一条曲线，求它每一处的斜率。具象来说，只要我们想量化某个事物的变化对另一个事物变化的影响程度，就会用到导数。比如：增加一种药物会在多大程度上降低患者的某个指标？提高一款App的价格会在多大程度上影响消费者的需求？

积分（核心是切片与累积）：研究一条弯曲的曲线下方的面积。它的核心是切片思想。把一个极其复杂的问题，拆分成无穷多个简单的、极小的矩形，把每一小部分解决后累加起来，从而解决全局问题。它的本质是一种累积效应，比如距离是速度的积分，体积是面积的积分。在实际应用中，比如通过初始的几个感染者数据，去估算一个城市最终被感染的人数最大值以及疫情结束的时间，这就需要用到积分的思想。

说到这里，我们可以看一个《生活大爆炸》里谢尔顿（Sheldon）玩过的梗：

谢尔顿说：“如果他最后发现自家小孩连曲线下面的面积该用积分还是微分算都不知道，那怎么办？”现在大家听完介绍，应该都能一秒get到这个笑点了——曲线下方的面积，当然是用积分算。

2. 微积分在实际中的三大应用场景

在实际工程和生活里，微积分有三个非常实用的核心用处：

估算值（线性化处理）：将极其复杂的指数、高次方程问题，利用导数思维简化为简单的加法和乘法，从而快速估算出一个大概的近似值。

求最大值与最小值：无论是在航空航天计算导弹飞行的最远距离，还是天体运行中计算行星离太阳最近和最远的距离，本质上都是在求一个方程的极大值和极小值。

最优化问题：比如一个储油罐（圆柱体），增加相同单位的半径r还是高度h，能让体积增加得更多？凭直觉大家可能觉得半径自带平方，肯定加半径快。但微积分精确定量的结果告诉我们：当圆柱体极扁（高小于半径的一半）时，其实增加高度才更划算。它能帮我们在线性模糊的经验中找到绝对量化的临界点。

这里还有大家在第一部分看过的那个复杂应用题（发电机给深海钻井平台铺设电缆）。前海铺设快、深海铺设慢，如何拉线才能让总时间最短？初中数学只会让我们拉一条直线（最省电缆），但高等数学的最优化思维能帮我们算出一条真正最省时间的路径。

数学的各个分支其实只是一个工具。就像我们用电脑看电影、玩游戏，不需要知道电脑内部是如何运作的一样。在现代，我们有很多计算机软件可以辅助计算，你只需要理解微积分的工具思维和核心概念，就已经在数学认知上前进了一大步，而不需要像以前考试那样痛苦地去手算各种复杂的解题技巧。

3. 数学离钱最近的地方：人工智能

最后，聊聊大家可能更有兴趣的、跟钱相关的话题：

为什么一个应届本科生，只要懂人工智能和机器学习，月薪就能拿到3万到6万？因为机器学习、深度学习的背后，全部是由严苛的数学基底支撑的：高等数学、微积分、线性代数、矩阵论、概率论、信息论、图论、离散数学……

目前在全球范围内，既懂数学又精通计算机工程的人，极其罕见。写程序的人往往数学底子不够，搞不懂复杂的算法逻辑；而纯学数学的人，写出的程序往往缺乏效率、模块化和生产环境所需的稳定性（这一点我在帮我们团队纯数学背景的同事做 Code Review 时深有感触）。

一旦你同时跨越了计算机和数学这两道门槛，你就会变得极其值钱。在深度学习里，微积分处于最核心的地位。计算机算来算去算那么久，本质上就是在利用微积分算一个叫做“损失函数”的最小值。当损失函数达到最小值时，得出的 AI 模型就是最准确的。这就是数学离钱最近的现身说法。

三、 自由民与奴隶：从教育模式看数学之殇

前面两部分，我们都是在个人层面讨论学数学的用处。第三部分，我想把镜头拉得更高、更远一点，来探讨一下教育本身与大环境对我们数学认知的影响。

之所以这一章用英文“Liberal Education”作为标题，是因为这个概念源自古希腊（公元前几百年），纽曼模式与之是一脉相承的。

在古典时期，著名的 Liberal Arts 包含“三学四术”：文法、修辞、辩证（三学），算术、几何（含地理）、天文、音乐（四术）。其中，数学和几何在当时占据了极其核心的地位。

1. 两种高等教育模式：红堡模式 vs 纽曼模式

在全球范围内，高等教育普遍存在两种截然不同的理念模式：

红堡模式（专才教育）：源自德国普鲁士，强调以职业教育、技能教育和应用研究为主。它能快速、批量地为社会各行各业输送对口的高精尖专才，非常适合社会经济、科技需要快速摊大饼、向前推进的发展阶段。前苏联沿袭了这一模式，而中国的教育体制很大程度上也照搬了前苏联的红堡模式。

纽曼模式（通才教育）：源自英国，强调大类指导、健全心智的培养以及学生之间的相互熏陶。它更鼓励跨学科的交流。比如哈佛大学6000名学生，学校提供了6000多门选修课，进去前不分专业，给予绝对自由的选课权利。在这个模式下，写程序的、学艺术的、研究哲学的学生每天生活、居住在同一个社区里，日常碰撞出完全不同的思维火花。

这两种模式没有绝对的高下之分。红堡模式给了我们安身立命的本事和工匠精神；而纽曼模式培养的则是眼界开阔、胸怀天下、具备领袖气质的通才。

但在我们所处的、类似于红堡模式的专才教育环境下，如果一个东西（比如高深的数学）不能对你的毕业、找工作、考研带来直接、显而易见的功利性帮助，大部分学校和个人就不会去重视它。这种过于实用的唯用论大环境，正是导致“数学之殇”（大家普遍过早放弃数学、厌恶数学）的根源之一。

2. Liberal Education 的本质：主人的知识

在古希腊，社会阶层被严格划分为自由民与奴隶。当时的奴隶并不是大家电影里看到的带着脚镣干重活的囚犯，用今天的话来说，他们很多其实就是高级白领——管家、店长、家庭教师、乐师。他们识字、有文化，甚至能和主人分成利润，但他们的身份依然是奴隶。

奴隶所接受的教育，是直接谋生的技能（也就是工具性的技术）。因为他们不需要操心城邦的政治、不需要做大局的决策。而自由民（如苏格拉底）每天在广场上辩论、思考哲学、研究数学和几何，战时则作为主人去保卫城邦。

在古希腊，你是否接受过 Liberal Arts（通识/博雅教育），是区别自由民与奴隶的根本依据。

放到今天，接受这种“看似不能直接帮你多挣钱”的思维训练有什么用？

如果你想成为自己生活的主人，成为社会的精英，你必须先在精神上拥有主人的态度和精英的知识体系，以这种一通百通的思维方式去做事，才能真正超脱于普通人。

硅谷曾有学生问马斯克：在大学学什么能成为企业家？马斯克回答说：“像我一样去学物理吧。”马斯克看重的绝不是那些死板的物理公式，而是物理学那套“第一性原理”的观察世界的思维方式。

数学作为 Liberal Arts 的核心，其本质也是一种一通百通的底层思维。退一步说，哪怕抛开所有的实际应用，纯粹的理论数学也拥有“无用之用，方为大用”的浪漫。当年数学家们发明非欧几何（如罗氏几何、黎曼几何）的时候，全世界都觉得这玩意儿纯粹是数学家的自嗨，没有任何现实意义。结果几百年后，爱因斯坦提出相对论，发现非欧几何是最完美的底层公式；再到今天，计算机图形学和 3D 建模的核心算法，全都在大量应用黎曼几何的思维。

结语

我们今天回顾了整个过程：从初等数学带给我们的思维、逻辑训练，到高等数学微积分在特定工程领域的实际应用，再到大环境教育体制与数学的关系。

最后，我想用这张门外透进一束光的图片来结束今天的分享。

这道光有两层含义：第一，数学就像是门外的世界。以前因为不了解，我们的门是关上的，觉得学它没什么用。希望今天这小小的分享能像这束光一样，能消解哪怕一点点大家对数学的误解与偏见。

第二，如果你是一个终身学习者，或者希望给下一代的教育带来一些启发，我希望这道光能提醒我们：不要总是用极其功利性的眼光去衡量一切知识。数学不仅仅是算账和考试的工具，它是前人留给我们，用以看清这个世界、训练严密心智的、最美好的礼物。

谢谢大家，我的分享就到这里。

QA闲聊环节

1. 中国教育模式的现状探讨

同事：刚才说到两种教育模式，中国现在的教育属于什么模式？中国古代科举或者儒家教育体系又算什么模式？

从历史发展的角度来看，中国大部分的高等教育还是偏向红堡模式的专才教育。我们的很多体系照搬了前苏联的模式，而前苏联深受德国影响。对于中国这种需要快速发展经济的阶段来说，这种模式非常有效，因为各行各业急需大量的对口专才。随着现在经济发展逐渐变缓，未来大环境可能会更倾向于纽曼模式培养出来的人才。目前国内很难找到真正实行纽曼模式进行大类指导教育的大学。

比如以前的燕京大学，是非常典型的纽曼模式，后来其专业被拆分到了清华和北大。中国近代的许多思想碰撞和历史运动，都与这所学校有着极深的渊源。

至于中国古代的教育，也存在类似纽曼思想的影子。比如现在很多地方兴起的国学热，就是想往通识教育的方向靠拢。但在中国当下的整体大环境中，全面实行纽曼式教育确实面临很大困难。

同事：国内大学的选修课名额非常有限，抢课系统经常崩溃，选修课的资源其实很少，这也跟之前大学扩招有关系，现在每年有九百多万毕业生。

这恰恰体现了红堡模式的特点，它要求你在自己的专业线上专一，其他的跨学科资源给得非常有限。换个角度问大家，如果条件允许，大家希望自己的小孩读红堡模式还是纽曼模式？

同事：如果有充足的钱肯定选纽曼模式。现实是没钱为了生计只能选红堡模式，去学一门专业知识好去上班混饭吃。

2. 数学在基础教育中的意义

这就是最现实的考量。所以中学的数学教育绝不能说没有用。在有限的条件下让大家锻炼思维能力，学习数学是综合来看最简单直接的方式。就像锻炼身体，去健身房是最正统直接的途径。

很多人诟病高考，但在现阶段，它却是一个最优解。作为家长，必定要把孩子送到学校接受教育，而学校里的数学课，就是系统锻炼孩子逻辑能力最好的途径。当你和一个完全没有接受过教育的人讨论偏逻辑的问题时，你会明显感觉到他们缺乏逻辑性，很容易跟不上节奏并产生抵触情绪。

学数学对逻辑思维的锻炼，我们自己往往感受不到。这就像我们每天吃饭长身体，吃了十年的饭，根本不知道具体是哪一顿饭让你长了哪一块肉。数学对思维能力的锻炼其实已经潜移默化地植根在我们的脑海里了。

3. 数学与物理的底层逻辑差异

同事：物理是符合现实的，但数学显得特别抽象。

物理和化学被称为经验科学，它们是基于现实当中的经验不断累积、总结和推导出来的。数学则完全不同，数学是纯粹抽象出来的产物，许多理论没有任何现实对应物。

比如数字零的概念，在人类社会早期是不存在的，这是社会发展演化到一定阶段才抽象出来的概念。古人看到两条河、两只猴子、两个杯子，一开始并没有独立数字的概念，通过长期的演化才把数字从具象物体中彻底抽象出来。数学研究的大量内容里，可能只有一小部分在现实中有直接意义，剩下的全是纯理论的探讨。

在物理研究过程中，往往需要理论先行。理论物理其实很多时候是在猜测现实规律，如果猜测不符合现实，就会被推翻。物理理论的模型建立极其依赖数学论证。比如暗物质的发现，科学家一开始并未直接观测到暗物质，但通过数学推算出宇宙的整体质量存在无法解释的缺口，由此建立了暗物质的模型。这种反复的严密数学论证，为物理学提供了坚实的理论基础。

4. 关于孩子报奥数班的思考

同事：如果给小孩报奥数班，应该怎么权衡？

这完全取决于家长的核心目的。如果仅仅是因为看到别人去学而盲目跟风，那就大可不必。

如果目的是为了提高校内的数学成绩，花巨大的精力去超前学习高年级的课程，实际收益很低。等孩子到了相应的年级，那些知识自然能够轻松掌握，这种超前的填鸭式学习必要性极小。如果目的很明确，纯粹是为了通过选拔考进更好的学校，那就另当别论了。

教育最核心的驱动力是兴趣。家长千万不能有把孩子直接丢给培训班就不管的心态。家长必须要深入参与进去，和孩子保持同步的互动。如果没有兴趣被强迫学习，孩子只会感到煎熬，甚至产生强烈的抗拒心理。

同事：想要应对当前的考试体系，肯定还是要着重培养孩子对数学的兴趣，绝不能把教育的责任全部甩给培训班，家长的亲自参与和引导确实必不可少。